ГРЕЦЬКА МАТЕМАТИКА
Класична Греція. З точки зору 20 в. родоначальниками математики з'явилися греки класичного періоду (6-4 ст. до н.е.). Математика, існувала в більш ранній період, була набором емпіричних висновків. Навпаки, в дедуктивному міркуванні нове твердження виводиться з прийнятих посилок способом, виключав можливість його неприйняття. 
Грецька система числення була заснована на використанні букв алфавіту. Антична система, що була у ходу з 6-3 ст. до н.е., використовувала для позначення одиниці вертикальну риску, а для позначення чисел 5, 10, 100, 1000 і 10 000 початкові літери їх грецьких назв.
Слово «калькуляція» (розрахунок, обчислення) походить із грецького слова, що означає «камінчик». Числа 3, 6, 10 і т.д. піфагорійці називали трикутними, оскільки відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді трикутника, числа 4, 9, 16 і т.д. - квадратними, оскільки відповідне число камінчиків можна розташувати у вигляді квадрата, і т.д.
З простих геометричних конфігурацій виникали деякі властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці виявили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (в сучасних позначеннях) n2 - квадратне число, то n2 + 2n +1 = (n + 1) 2. Число, рівне сумі всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим.
З простих геометричних конфігурацій виникали деякі властивості цілих чисел. Наприклад, піфагорійці виявили, що сума двох послідовних трикутних чисел завжди дорівнює деякому квадратному числу. Вони відкрили, що якщо (в сучасних позначеннях) n2 - квадратне число, то n2 + 2n +1 = (n + 1) 2. Число, рівне сумі всіх своїх власних дільників, крім самого цього числа, піфагорійці називали досконалим.
Прикладами скоєних чисел можуть служити такі цілі числа, як 6, 28 і 496. Два числа піфагорійці називали дружніми, якщо кожне з чисел дорівнює сумі дільників іншого; наприклад, 220 і 284 - дружні числа (і тут саме число виключається з власних дільників).
Для піфагорійців будь-яке число являло собою щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2 відповідно до їхньої думки означало відмінність і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, так як це перше число, що дорівнює добутку двох однакових множників.
Піфагорійці також відкрили, що сума деяких пар квадратних чисел є знову квадратне число. Наприклад, сума 9 і 16 дорівнює 25, а сума 25 і 144 дорівнює 169. Такі трійки чисел, як 3, 4 і 5 або 5, 12 і 13, називаються піфагорових числами. Вони мають геометричну інтерпретацію, якщо два числа з трійки прирівняти довжинах катетів прямокутного трикутника, то третє число дорівнюватиме довжині його гіпотенузи. Така інтерпретація, очевидно, привела піфагорійців до усвідомлення більш загального факту, відомого нині під назвою теореми Піфагора, згідно з якою в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Розглядаючи прямокутний трикутник з одиничними катетами, піфагорійці виявили, що довжина його гіпотенузи дорівнює, і це привело їх в сум'яття, бо вони марно намагалися представити число у вигляді відносини двох цілих чисел, що було вкрай важливо для їх філософії. Величини, непредставімие у вигляді відношення цілих чисел, піфагорійці назвали несумірними; сучасний термін - «ірраціональні числа». Близько 300 до н.е. Евклід довів, що число незрівнянно. Піфагорійці мали справу з ірраціональними числами, представляючи все величини геометричними образами. Якщо 1 і вважати довжинами деяких відрізків, то відмінність між раціональними та ірраціональними числами згладжується. Твір чисел і є площа прямокутника зі сторонами довжиною і .Ми і сьогодні іноді говоримо про кількість 25 як про квадраті 5, а про число 27 - як про кубі 3.
Стародавні греки вирішували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення і ділення відрізків, вилучення квадратних коренів з довжин відрізків; нині цей метод називається геометричній алгеброю.
Приведення завдань до геометричному виду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними відносинами можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї суворої математики принаймні до1600. І навіть в 18 ст., Коли вже були досить розвинені алгебра і математичний аналіз, сувора математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначно слову «математик».
Саме піфагорійцям ми багато в чому зобов'язані тієї математикою, яка потім була систематизовано викладено і доведена в Засадах Евкліда. Є підстави вважати, що саме вони відкрили те, що нині відомо як теореми про трикутниках, паралельних прямих, многоугольниках, кіл, сферах і правильних многогранниках.
Одним з найвидатніших піфагорійців був Платон (бл. 427-347 до н.е.). Платон був переконаний, що фізичний світ неосяжний лише за допомогою математики. Вважається, що саме йому належить заслуга винаходи аналітичного методу докази. (Аналітичний метод починається з твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться слідства до тих пір, поки не буде досягнутий якийсь відомий факт; доказ виходить за допомогою зворотного процедури.)
Для піфагорійців будь-яке число являло собою щось більше, ніж кількісну величину. Наприклад, число 2 відповідно до їхньої думки означало відмінність і тому ототожнювалося з думкою. Четвірка представляла справедливість, так як це перше число, що дорівнює добутку двох однакових множників.
Розглядаючи прямокутний трикутник з одиничними катетами, піфагорійці виявили, що довжина його гіпотенузи дорівнює, і це привело їх в сум'яття, бо вони марно намагалися представити число у вигляді відносини двох цілих чисел, що було вкрай важливо для їх філософії. Величини, непредставімие у вигляді відношення цілих чисел, піфагорійці назвали несумірними; сучасний термін - «ірраціональні числа». Близько 300 до н.е. Евклід довів, що число незрівнянно. Піфагорійці мали справу з ірраціональними числами, представляючи все величини геометричними образами. Якщо 1 і вважати довжинами деяких відрізків, то відмінність між раціональними та ірраціональними числами згладжується. Твір чисел і є площа прямокутника зі сторонами довжиною і .Ми і сьогодні іноді говоримо про кількість 25 як про квадраті 5, а про число 27 - як про кубі 3.
Стародавні греки вирішували рівняння з невідомими за допомогою геометричних побудов. Були розроблені спеціальні побудови для виконання додавання, віднімання, множення і ділення відрізків, вилучення квадратних коренів з довжин відрізків; нині цей метод називається геометричній алгеброю.
Приведення завдань до геометричному виду мало ряд важливих наслідків. Зокрема, числа стали розглядатися окремо від геометрії, оскільки працювати з несумірними відносинами можна було тільки за допомогою геометричних методів. Геометрія стала основою майже всієї суворої математики принаймні до1600. І навіть в 18 ст., Коли вже були досить розвинені алгебра і математичний аналіз, сувора математика трактувалася як геометрія, і слово «геометр» було рівнозначно слову «математик».
Саме піфагорійцям ми багато в чому зобов'язані тієї математикою, яка потім була систематизовано викладено і доведена в Засадах Евкліда. Є підстави вважати, що саме вони відкрили те, що нині відомо як теореми про трикутниках, паралельних прямих, многоугольниках, кіл, сферах і правильних многогранниках.
Одним з найвидатніших піфагорійців був Платон (бл. 427-347 до н.е.). Платон був переконаний, що фізичний світ неосяжний лише за допомогою математики. Вважається, що саме йому належить заслуга винаходи аналітичного методу докази. (Аналітичний метод починається з твердження, яке потрібно довести, і потім з нього послідовно виводяться слідства до тих пір, поки не буде досягнутий якийсь відомий факт; доказ виходить за допомогою зворотного процедури.)
Прийнято вважати, що послідовники Платона винайшли метод докази, який отримав назву «доказ від протилежного». Помітне місце в історії математики займає Аристотель, учень Платона. Аристотель заклав основи науки логіки і висловив ряд ідей щодо визначень, аксіом, нескінченності і можливості геометричних побудов.
Найбільшим з грецьких математиків класичного періоду, поступався за значимістю отриманих результатів тільки Архімеда, був Евдокс (бл. 408-355 до н.е.). Саме він ввів поняття величини для таких об'єктів, як відрізки прямих і кути. Маючи в своєму розпорядженні поняттям величини, Евдокс логічно суворо обгрунтував піфагорійський метод поводження з ірраціональними числами.
Роботи Евдокса дозволили встановити дедуктивну структуру математики на основі явно сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і обсягів, який отримав назву «методу вичерпання». Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних плоских фігур або просторових тіл, які заповнюють ( «вичерпують») площу або обсяг тієї постаті або того тіла, яке є предметом дослідження. Евдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, що пояснює спостережуваний рух планет. Запропонована Евдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами і осями обертання можуть пояснити удавані нерегулярними руху Сонця, Місяця і планет.
Близько 300 до н.е. результати багатьох грецьких математиків були зведені в єдине ціле Евклідом, який написав математичний шедевр Почала. З небагатьох проникливо відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких, як «ціле більше кожній із частин». І з цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст Почав Евкліда довгий час служив зразком строгості, поки в 19 ст. не виявилося, що в ньому є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання несформульованих в явному вигляді припущень.
Аполлоній (бл. 262-200 до н.е.) жив в олександрійський період, але його основна праця витриманий в дусі класичних традицій. Запропонований ним аналіз конічних перетинів - окружності, еліпса, параболи і гіперболи - з'явився кульмінацією розвитку грецької геометрії. Аполлоній також став засновником кількісної математичної астрономії.
Олександрійський період. У цей період, який почався близько 300 до н.е., характер грецької математики змінився. Олександрійська математика виникла в результаті злиття класичної грецької математики з математикою Вавилонії і Єгипту. В цілому математики олександрійського періоду були більше схильні до вирішення суто технічних завдань, ніж до філософії. Великі олександрійські математики - Ератосфен, Архімед, Гіппарх, Птолемей, Діофант і Папп - продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але настільки ж охоче застосовували свій талант до вирішення практичних проблем і чисто кількісних завдань.
Роботи Евдокса дозволили встановити дедуктивну структуру математики на основі явно сформульованих аксіом. Йому ж належить і перший крок у створенні математичного аналізу, оскільки саме він винайшов метод обчислення площ і обсягів, який отримав назву «методу вичерпання». Цей метод полягає в побудові вписаних і описаних плоских фігур або просторових тіл, які заповнюють ( «вичерпують») площу або обсяг тієї постаті або того тіла, яке є предметом дослідження. Евдоксу ж належить і перша астрономічна теорія, що пояснює спостережуваний рух планет. Запропонована Евдоксом теорія була суто математичною; вона показувала, яким чином комбінації обертових сфер з різними радіусами і осями обертання можуть пояснити удавані нерегулярними руху Сонця, Місяця і планет.
Близько 300 до н.е. результати багатьох грецьких математиків були зведені в єдине ціле Евклідом, який написав математичний шедевр Почала. З небагатьох проникливо відібраних аксіом Евклід вивів близько 500 теорем, що охопили всі найважливіші результати класичного періоду. Свій твір Евклід почав з визначення таких термінів, як пряма, кут і коло. Потім він сформулював десять самоочевидних істин, таких, як «ціле більше кожній із частин». І з цих десяти аксіом Евклід зміг вивести всі теореми. Для математиків текст Почав Евкліда довгий час служив зразком строгості, поки в 19 ст. не виявилося, що в ньому є серйозні недоліки, такі як неусвідомлене використання несформульованих в явному вигляді припущень.
Олександрійський період. У цей період, який почався близько 300 до н.е., характер грецької математики змінився. Олександрійська математика виникла в результаті злиття класичної грецької математики з математикою Вавилонії і Єгипту. В цілому математики олександрійського періоду були більше схильні до вирішення суто технічних завдань, ніж до філософії. Великі олександрійські математики - Ератосфен, Архімед, Гіппарх, Птолемей, Діофант і Папп - продемонстрували силу грецького генія в теоретичному абстрагуванні, але настільки ж охоче застосовували свій талант до вирішення практичних проблем і чисто кількісних завдань.
Ератосфен (бл. 275-194 до н.е.) знайшов простий метод точного обчислення довжини кола Землі, йому ж належить календар, в якому кожен четвертий рік має на один день більше, ніж інші. Астроном Аристарх (бл. 310-230 до н.е.) написав твір Про розмірах і відстанях Сонця і Місяця, що містив одну з перших спроб визначення цих розмірів і відстаней; за своїм характером робота Аристарха була геометричній.
Найбільшим математиком давнини був Архімед (бл. 287-212 до н.е.). Йому належать формулювання багатьох теорем про площі та обсяги складних фігур і тіл, цілком суворо доведені їм методом вичерпування. Архімед завжди прагнув отримати точні рішення і знаходив верхні і нижні оцінки для ірраціональних чисел. Наприклад, працюючи з правильним 96-кутником, він бездоганно довів, що точне значення числа? знаходиться між 31/7 і 310/71. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричній алгебри. Йому належить формулювання задачі про розтині кулі площиною так, щоб обсяги сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед вирішив цю задачу, відшукавши перетин параболи і равнобочной гіперболи.
Архімед був найбільшим математичним фізиком давнини. Для доведення теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір Про плаваючих тілах заклало основи гідростатики. Згідно з легендою, Архімед відкрив що носить його ім'я закон, згідно з яким на тіло, занурене у воду, діє виштовхуюча сила, рівна вазі витісненої ним рідини, під час купання, перебуваючи у ванній, і не в силах впоратися з якою охоплено його радістю відкриття, вибіг оголений на вулицю з криком: «Еврика!» ( «Відкрив!»)
За часів Архімеда вже не обмежувалися геометричними побудовами, здійсненними тільки за допомогою циркуля і лінійки. Архімед використовував в своїх побудовах спіраль, а Діоклеса (кінець 2 ст. До н.е.) вирішив проблему подвоєння куба за допомогою введеної їм кривою, що отримала назву цисоїди.
У олександрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обгрунтовану теорію цілих чисел, однак олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані уявлення про математичної строгості. Що жив між 100 до н.е. і 100 н.е. Герон Олександрійський трансформував значну частину геометричній алгебри греків у відверто несуворі обчислювальні процедури. Однак, доводячи нові теореми евклідової геометрії, він як і раніше керувався стандартами логічного суворості класичного періоду.
Першою досить об'ємистої книгою, в якій арифметика викладалася незалежно від геометрії, було Введення в арифметику Нікомаха (бл. 100 н.е.). В історії арифметики її роль можна порівняти з роллю Почав Евкліда в історії геометрії. Протягом більше 1000 років вона служила стандартним підручником, оскільки в ній ясно, чітко і всебічно містилося вчення про цілих числах (простих, складових, взаємно простих, а також про пропорції). Повторюючи багато пифагорейские затвердження, Запровадження Нікомаха разом з тим йшло далі, так як Никомах бачив і більш загальні відносини, хоча і приводив їх без доказу.
Знаменною віхою в алгебрі олександрійських греків стали роботи Діофанта (бл. 250). Одне з головних його досягнень пов'язано з введенням в алгебру почав символіки. У своїх роботах Діофант не пропонував загальних методів, він мав справу з конкретними позитивними раціональними числами, а не з їх літерними позначеннями. Він заклав основи т.зв. диофантова аналізу - дослідження невизначених рівнянь.
Вищим досягненням олександрійських математиків стало створення кількісної астрономії. Гиппарху (бл. 161-126 до н.е.) ми зобов'язані винаходом тригонометрії. Його метод був заснований на теоремі, яка каже, що в подібних трикутниках ставлення довжин будь-яких двох сторін одного з них дорівнює відношенню довжин двох відповідних сторін іншого. Зокрема, відношення довжини катета, що лежить проти гострого кута А в прямокутному трикутнику, до довжини гіпотенузи має бути одним і тим же для всіх прямокутних трикутників, що мають один і той же гострий кут А. Це ставлення відомо як синус кута А. Відносини довжин інших сторін прямокутного трикутника отримали назву косинуса і тангенса кута А. Гіппарх винайшов метод обчислення таких відносин і склав їх таблиці. Маючи в своєму розпорядженні цими таблицями і легко вимірними відстанями на поверхні Землі, він зміг обчислити довжину її великому колу і відстань до Місяця. За його розрахунками, радіус Місяця становив одну третину земного радіуса; за сучасними даними ставлення радіусів Місяця і Землі становить 27/1000. Гіппарх визначив тривалість сонячного року з помилкою всього лише в 61/2 хвилини; вважається, що саме він ввів широти і довготи.
Грецька тригонометрія та її застосування в астрономії досягли піку свого розвитку в Альмагесте єгиптянина Клавдія Птолемея (помер в 168 н.е.). У Альмагесте була представлена теорія руху небесних тіл, що панувала аж до 16 в., Коли її змінила теорія Коперника. Птолемей прагнув побудувати найпростішу математичну модель, усвідомлюючи, що його теорія - всього лише зручний математичний опис астрономічних явищ, узгоджене з спостереженнями. Теорія Коперника здобула гору саме тому, що як модель вона виявилася простіше.
Занепад Греції. Після завоювання Єгипту римлянами в 31 до н.е. велика грецька олександрійська цивілізація занепала. Цицерон з гордістю стверджував, що на відміну від греків римляни мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, витягуючи з них реальну користь. Однак в розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення грунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Головною її особливістю був адитивний принцип. Навіть вичітательний принцип, наприклад, запис числа 9 у вигляді IX, увійшов у широкий вжиток лише після винаходу набраних літер в 15 в. Римські позначення чисел застосовувалися в деяких європейських школах приблизно до 1600, а в бухгалтерії і століттям пізніше.
Найбільшим математиком давнини був Архімед (бл. 287-212 до н.е.). Йому належать формулювання багатьох теорем про площі та обсяги складних фігур і тіл, цілком суворо доведені їм методом вичерпування. Архімед завжди прагнув отримати точні рішення і знаходив верхні і нижні оцінки для ірраціональних чисел. Наприклад, працюючи з правильним 96-кутником, він бездоганно довів, що точне значення числа? знаходиться між 31/7 і 310/71. Архімед довів також кілька теорем, що містили нові результати геометричній алгебри. Йому належить формулювання задачі про розтині кулі площиною так, щоб обсяги сегментів перебували між собою в заданому відношенні. Архімед вирішив цю задачу, відшукавши перетин параболи і равнобочной гіперболи.
Архімед був найбільшим математичним фізиком давнини. Для доведення теорем механіки він використовував геометричні міркування. Його твір Про плаваючих тілах заклало основи гідростатики. Згідно з легендою, Архімед відкрив що носить його ім'я закон, згідно з яким на тіло, занурене у воду, діє виштовхуюча сила, рівна вазі витісненої ним рідини, під час купання, перебуваючи у ванній, і не в силах впоратися з якою охоплено його радістю відкриття, вибіг оголений на вулицю з криком: «Еврика!» ( «Відкрив!»)
За часів Архімеда вже не обмежувалися геометричними побудовами, здійсненними тільки за допомогою циркуля і лінійки. Архімед використовував в своїх побудовах спіраль, а Діоклеса (кінець 2 ст. До н.е.) вирішив проблему подвоєння куба за допомогою введеної їм кривою, що отримала назву цисоїди.
У олександрійський період арифметика і алгебра розглядалися незалежно від геометрії. Греки класичного періоду мали логічно обгрунтовану теорію цілих чисел, однак олександрійські греки, сприйнявши вавилонську і єгипетську арифметику і алгебру, багато в чому втратили вже напрацьовані уявлення про математичної строгості. Що жив між 100 до н.е. і 100 н.е. Герон Олександрійський трансформував значну частину геометричній алгебри греків у відверто несуворі обчислювальні процедури. Однак, доводячи нові теореми евклідової геометрії, він як і раніше керувався стандартами логічного суворості класичного періоду.
Першою досить об'ємистої книгою, в якій арифметика викладалася незалежно від геометрії, було Введення в арифметику Нікомаха (бл. 100 н.е.). В історії арифметики її роль можна порівняти з роллю Почав Евкліда в історії геометрії. Протягом більше 1000 років вона служила стандартним підручником, оскільки в ній ясно, чітко і всебічно містилося вчення про цілих числах (простих, складових, взаємно простих, а також про пропорції). Повторюючи багато пифагорейские затвердження, Запровадження Нікомаха разом з тим йшло далі, так як Никомах бачив і більш загальні відносини, хоча і приводив їх без доказу.
Знаменною віхою в алгебрі олександрійських греків стали роботи Діофанта (бл. 250). Одне з головних його досягнень пов'язано з введенням в алгебру почав символіки. У своїх роботах Діофант не пропонував загальних методів, він мав справу з конкретними позитивними раціональними числами, а не з їх літерними позначеннями. Він заклав основи т.зв. диофантова аналізу - дослідження невизначених рівнянь.
Вищим досягненням олександрійських математиків стало створення кількісної астрономії. Гиппарху (бл. 161-126 до н.е.) ми зобов'язані винаходом тригонометрії. Його метод був заснований на теоремі, яка каже, що в подібних трикутниках ставлення довжин будь-яких двох сторін одного з них дорівнює відношенню довжин двох відповідних сторін іншого. Зокрема, відношення довжини катета, що лежить проти гострого кута А в прямокутному трикутнику, до довжини гіпотенузи має бути одним і тим же для всіх прямокутних трикутників, що мають один і той же гострий кут А. Це ставлення відомо як синус кута А. Відносини довжин інших сторін прямокутного трикутника отримали назву косинуса і тангенса кута А. Гіппарх винайшов метод обчислення таких відносин і склав їх таблиці. Маючи в своєму розпорядженні цими таблицями і легко вимірними відстанями на поверхні Землі, він зміг обчислити довжину її великому колу і відстань до Місяця. За його розрахунками, радіус Місяця становив одну третину земного радіуса; за сучасними даними ставлення радіусів Місяця і Землі становить 27/1000. Гіппарх визначив тривалість сонячного року з помилкою всього лише в 61/2 хвилини; вважається, що саме він ввів широти і довготи.
Грецька тригонометрія та її застосування в астрономії досягли піку свого розвитку в Альмагесте єгиптянина Клавдія Птолемея (помер в 168 н.е.). У Альмагесте була представлена теорія руху небесних тіл, що панувала аж до 16 в., Коли її змінила теорія Коперника. Птолемей прагнув побудувати найпростішу математичну модель, усвідомлюючи, що його теорія - всього лише зручний математичний опис астрономічних явищ, узгоджене з спостереженнями. Теорія Коперника здобула гору саме тому, що як модель вона виявилася простіше.
Занепад Греції. Після завоювання Єгипту римлянами в 31 до н.е. велика грецька олександрійська цивілізація занепала. Цицерон з гордістю стверджував, що на відміну від греків римляни мрійники, а тому застосовують свої математичні знання на практиці, витягуючи з них реальну користь. Однак в розвиток самої математики внесок римлян був незначний. Римська система числення грунтувалася на громіздких позначеннях чисел. Головною її особливістю був адитивний принцип. Навіть вичітательний принцип, наприклад, запис числа 9 у вигляді IX, увійшов у широкий вжиток лише після винаходу набраних літер в 15 в. Римські позначення чисел застосовувалися в деяких європейських школах приблизно до 1600, а в бухгалтерії і століттям пізніше.
Немає коментарів:
Дописати коментар